Funktions- und Arbeitsteilung sind verwandte Begriffe. Die Teilung spart. Dies hat Adam Smith im Buch "Reichtum der Nationen" beschrieben und dies wird widerspruchslos akzeptiert. Wie dies mathematisch erfassen? In der mir bekannten Literatur finde ich nur konkrete Beispiele. Deshalb folgend allgemeine Gleichungen. Es ergibt sich erstaunliches. In manchen Fällen bringt der Tausch nichts oder nur ein Teilsystem profitiert davon.

1. Aufgabe bei Anzahl = 2 (Anzahl beliebig siehe Punkt 2)

Ein System bestehe aus 2 Teilsystemen, das System₁ und das System₂. Zu ihrer Erhaltung müssen beide die Funktion₁ und die Funktion₂ erfüllen. Wie ist zu tauschen, dass der Aufwand für beide Systeme gering bleibt/wird?

1.1. Mathematischer Ansatz

A ist der Aufwand, b sind die benötigten Mengen, a ist der Aufwand pro Mengeneinheit und x sind die Tauschmengen. Der Aufwand errechnet sich dann:

Zur Übersicht die folgende Tabelle:

Die Tauschmengen x₁ und x₂ sind durch den Bedarf (= benötige Mengen b₁₁, b₁₂, b₂₁ und b₂₂) begrenzt, also

- b11 =< x1 =< b21	(8)
- b12 =< x2 =< b22	(9)

Der Tausch darf/soll die Teilsysteme nicht benachteiligen, also gilt zusätzlich:

AD1 = - x1 * a11 - x2 * a12 >= 0	(10)
AD2 = x1 * a21 + x2 * a22 >= 0	(11)
Alle Aufwendungen pro Mengeneinheit a11, a12, a21 und a22 sind positiv (negativer Aufwand wäre ein Perpetuum mobile)	(12)

Gesucht: Tauschen so (die Werte x₁ und x₂) zur maximalen Gesamteinsparung A_D = x₁ * (a₂₁ - a₁₁ ) + x₂ * (a₂₂ - a₁₂).

1.2. Lösung (Rechenweg im Punkt 1.4.)

Eine Fallunterscheidung wird notwendig:

1.3. Folgerungen

• Aus obiger Tabelle wird sichtbar, das Verhältnis der Aufwendungen zeigt die möglichen Einsparungen.
• Je mehr Bedarf, desto größer die Einsparungen.
• Wie getauscht wird, ist vom Verhältnis von a₁₁ * a₂₂ zu a₁₂ * a₂₁ abhängig
• und wie viel getauscht wird, ist abhängig vom Bedarf (b₁₁,b₁₂, b₂₁ und b₂₂)
• Beim Aufwandsverhältnis a₁₁ * a₂₂ = a₁₂ * a₂₁ bringt der Tausch keine Einsparung.

1.4. Mathematische Berechnung

1.4.1. Tauschrichtung

Die Gleichungen (10) und (11) umgestellt nach x₁ ergeben:

x1 =< - x2 * a12 / a11	(13)
- x2 * a22 / a21 =< x1	(14)
Dies ergibt: - x2 * a22 / a21 =< x1 =< - x2 * a12 / a11	(15)
und weiter: x2 >= x2 * (a12 * a21)/ (a11 * a22)	(16)

Die Gleichungen (10) und (11) umgestellt nach x₂ ergeben:

x2 =< - x1 * a11 / a12	(17)
- x1 * a21 / a22 =< x2	(18)
Dies ergibt: - x1 * a21 / a22 =< x2 =< - x1 * a11 / a12	(19)
und weiter: x1 >= x1 * (a11 * a22) / (a12 *a21)	(20)

(16) und (20) ermöglichen Fallunterscheidung:

Fall	bei	es folgt
1.	a11 * a22 < a12 * a21	x1 >= 0 und x2 =< 0 (wenn der Faktor (a11* a22) / (a12 * a21) < 1, muss x1 positiv sein und x2 negativ)	(21)
2.	a11 * a22 > a12 * a21	x1 =< 0 und x2 >= 0 (wenn der Faktor (a11* a22) / (a12 * a21) > 1, muss x1 negativ sein und x2 positiv)	(22)
3.	a11 * a22 = a12 * a21	x1 = - x2 * a22 / a21 = - x2 * a12 / a11 und x2 = - x1 * a21 / a22 = - x1 * a11 / a12	(23)

1.4.2. Tauschmengen

1.4.2.1. Fall 1 = Bedingung (21): a₁₁ * a₂₂ < a₁₂ * a₂₁ (x₁ ist positiv und x₂ ist negativ)

Die Gleichungen (13) bzw. (14) in (7) eingesetzt ergeben:

bei a21 > a11 folgt	AD = x1 * (a21 - a11) + x2 * ( a22 - a12) =< - x2 * a12 / a11 * (a21 - a11) + x2 * ( a22 - a12) = x2 * ( a22 - a12 * a21 / a11)	(25)
bei a21 < a11 folgt	AD = x1 * (a21 - a11) + x2 * ( a22 - a12) =< - x2 * a22 / a21 * (a21 - a11) + x2 * ( a22 - a12) = x2 * ( a22 * a11 / a21 - a12)	(26)
bei a21 = a11 folgt	AD = x1 * (a21 - a11) + x2 * ( a22 - a12) = x2 * ( a22 - a12)	(27)

Beide Faktoren sind negativ. Aus der Bedingung (21) folgt x₂ ist negativ und (25): a₂₂ < a₁₂ * a₂₁ / a₁₁ bzw. (26): a₁₁ * a₂₂ / a₂₁ < a₁₂ bzw. (27): a₂₂ < a₁₂. Somit das Produkt positiv und je kleiner x₂, desto größer A_D
x₂ ist nach laut (9) unten begrenzt durch - b₁₂ =< x₂ und zusätzlich laut (18) - x₁ * a₂₁ / a₂₂ =< x₂. Laut (8) ist - b₂₁ =< - x₁, also - b₂₁ * a₂₁ / a₂₂ =< x₂

Aus der Bedingung (35) oder (36) folgt wegen (21) die Bedingung (28). Aus der Bedingung (29) oder (30) folgt wegen (21) die Bedingung (34).

1.4.2.2. Fall 2 = Bedingung (22): a₁₁ * a₂₂ > a₁₂ * a₂₁ (x₁ ist negativ und x₂ ist positiv)

Die Gleichungen (17) bzw. (18) in (7) eingesetzt ergeben:

bei a22 > a12 folgt	AD = x1 * (a21 - a11) + x2 * ( a22 - a12) =< x1 * (a21 - a11 * a22 / a12)	(41)
bei a22 < a12 folgt	AD = x1 * (a21 - a11) - x2 * (a21 - a22) =< x1 * (a21 - a11 + a21 / a22 * (a12 - a22)) = x1 * (a12 * a21 / a22 - a11)	(42)
bei a22 = a12 folgt	AD = x1 * (a21 - a11) + x2 * 0 = x1 * ( a21 - a11)	(43)

Beide Faktoren sind negativ. Aus der Bedingung (22) folgt x₁ ist negativ und (41): a₂₁ < a₁₁ * a₂₂ / a₁₂ bzw. (42): a₁₂ * a₂₁ / a₂₂ < a₁₁ bzw. (43): a₂₁ < a₁₁. Somit das Produkt positiv und je kleiner x₁, desto größer A_D
x₁ ist nach laut (8) unten begrenzt durch - b₁₁ =< x₁ und zusätzlich laut (14) - x₂ * a₂₂ / a₂₁ =< x₁. Laut (9) ist - b₂₂ =< - x₂, also - b₂₂ * a₂₂ / a₂₁ =< x₁

Aus der Bedingung (45) oder (46) folgt wegen (22) die Bedingung (50). Aus der Bedingung (51) oder (52) folgt wegen (22) die Bedingung (44).

1.4.2.3. Fall 3 = Bedingung (23): a₁₁ * a₂₂ = a₁₂ * a₂₁

Aus (10) folgt, wenn x₁ positiv, muss x₂ negativ sein. Aus (11) folgt, wenn x₁ negativ, muss x₂ positiv sein.
Wenn x₁ positiv, dann ist laut

• (5) und (13) A_D1 = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ =< x₂ * a₁₂ * a₁₁ / a₁₁ - x₂ * a₁₂ = 0
• (6) und (13) A_D2 = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ =< - x₂ * a₁₂ * a₂₁ / a₁₁ + x₂ * a₂₂ = x₂ * (a₂₂ - a₁₂ * a₂₁ / a₁₁) = x₂ * (a₂₂ - a₁₁ * a₂₂ / a₁₁) = 0

• (5) und (17) A_D1 = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ =< - x₁ * a₁₁ + x₁ * a₁₁ * a₁₂ / a₁₂ = 0
• (6) und (17) A_D2 = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ =< x₁ * a₂₁ - x₁ * a₁₁ * a₂₂ / a₁₂ = x₁ * (a₂₁ - a₁₂ * a₂₁ / a₁₂) = 0

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2007	Diplom-Mathematiker Stefan Pschera Bahnhofstr. 6 D-08258 Markneukirchen OT Erlbach Kopierrechte beim Verfasser Email