Das Gesamtsystem bestehe aus m Teilsystemen und n verschiedenen Funktionen. Der Gesamtaufwand berechnet sich ASystem = ∑ i=1m (∑ j=1n bij * aij).
aij ist der Aufwand pro Mengeneinheit, welches das Systemi zur Erfüllung der Funktionj benötigt, bij ist der Bedarf des Systemsi an der Funktionj.
Aij ist der Aufwand des Systemi an der Funktionj, es gilt also Aij = bij * aij
Alle Aufwendungen aij sind für beliebiges i und j positiv, ansonsten wäre die jeweilige Aktion ein Perpetuum mobile. |
(57) |
Die Mengen bij sind der Bedarf an der jeweiligen Funktion aij. Die untere Grenze ist Null (kein Eigenbedarf an dieser Funktion). |
(58) |
Tausch/Funktionsteilung bedeutet, das ein Teilsystem anteilig Mengen xij für das andere System übernimmt. Die obige Tabelle ist zu erweitern um die Tauschmengen xij. |
(59) |
System/Funktion |
Funktion1 |
Funktion2 |
... |
Funktionn |
Gesamtaufwand pro Teilsystemi |
Teilsystem1 |
(b11 + x11) * a11 |
(b12 + x12) * a12 |
... |
(b1n + x1n ) * a1n |
AST1 = ∑j=1n (b1j + x1j) * a1j |
Teilsystem2 |
(b21 + x21)* 21 |
(b22 + x22) * a22 |
... |
(b2n + x2n) * a2n |
AST2 = ∑ j=1n (b2j + x2j)* a2j |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
Teilsystemm |
(bm1 + xm1) * am1 |
(bm2 + xm2) * am2 |
... |
(bmn + xmn)* amn |
ASTm = ∑ j=1n (bmj + xmj) * amj |
Gesamtbedarf pro Funktionj |
AFT1 = ∑ i=1m (bi1 + xi1) * ai1 |
AFT2 = ∑ i=1m (bi2 + xi2) * ai2 |
... |
AFTn = ∑ i=1m (bin + xin) * ain |
AT = ∑ i=1m (∑ j=1n (bij + xij) * aij)) |
Dies ergibt eine Aufwandsdifferenz: ADij = Aij - ATij = bij * aij - (bij + xij) * aij = - xij * aij |
(60) |
System/Funktion |
Funktion1 |
Funktion2 |
... |
Funktionn |
Gesamtdiffferenz pro Teilsystemi |
Teilsystem1 |
- x11 * a11 |
- x12 * a12 |
... |
- x1n * a1n |
ASD1 = ∑j=1n- x1j * a1j |
Teilsystem2 |
- x21 * 21 |
- x22 * a22 |
... |
- x2n * a2n |
ASD2 = ∑ j=1n - x2j * a2j |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
Teilsystemm |
- xm1 * am1 |
- xm2 * am2 |
... |
- xmn * amn |
ASDm = ∑ j=1n -xmj * amj |
Gesamtbedarf pro Funktionj |
AFD1 = ∑ i=1m -xi1 * ai1 |
AFD2 = ∑ i=1m -xi2 * ai2 |
... |
AFDn = ∑ i=1m -xin * ain |
AD = ∑ i=1m (∑ j=1n -xij * aij) |
Der Tausch verändert den Bedarf vorerst nicht. Also gilt ∑ j=1n xij = 0 für beliebiges i von 1 bis m. |
(61) |
Umgestellt ergibt sich: ∑ k=1j-1 xik + xij + ∑k=j+1n xik = 0 bzw. - xij = ∑ k=1j-1 xik + ∑k=j+1n xik für beliebiges i = 1 bis m. |
(62) |
Nach oben kann ein System maximal den Gesamtbedarf aller Systeme an der Funktionj übernehmen. xij = < ∑ k=1n bik für beliebiges i= bis m und j = 1 bis n |
(63) |
Weiter --------------z.Z. in Überarbeitung -----------------------
Ein Tausch mit der Menge x bei Funktionj und vom Systemi zum Systemk ergibt
ADij = Aij - ATij = x * aij und ADkj = Akj - ATkj = - x * akj Auswirkung auf das Gesamtsystem ADij + ADkj = x * (aij - aik)
.
Also ist bei diesem Tausch eine maximale Einsparung erreichbar
- Fall 1: bei aji > ali, x = mli, AufwandDifferenz = mli * (aji - ali)
- Fall 2: bei aji < ali, x = - mji, AufwandDifferenz = mji * (ali - aji)
- Fall 3: bei aji = ali, keine Einsparung, da Differenz (aji - ali) = 0
(7) Unter allen Systemen ist bei Aktioni ein Systemj auswählbar mit aji =< ali für beliebiges l = 1 bis m. Dieses Systemj kann also die Aktioni mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das Systemj übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktioni.
(8) AGesamtdifferenz bei Aktioni = AAktioni ohne Tausch - AAktioni mit Tausch = ∑ l=1k mli * ali - (∑ l=1k mli) * aji = ∑ l=1k mli * (ali - aji)
Dies ist die maximal erzielbare Einsparung.
Hinweis: Bei dieser Aufstellung wird auch bei identischen Aufwand getauscht, obwohl dies keine Einsparung bringt (Fall 3). Diese Fälle sind also abziehbar. An der Einsparungssumme ändert dies nichts. Nur die Formel wird aufwendiger (Summe über Systeme mit ali < aji).
Summiert über alle Systeme gilt dann:
(9) Amaximale Einsparung Gesamt = ∑ i=1n (∑ l=1k mli * (ali - ajii)), dabei ist ji jeweils die Aktionj pro Systemi, welche den geringsten Aufwand hat.
4. Ausgleich
Bei der maximalen Einsparung bleibt die Bilanz für die Systeme ∑ i=1n - xji * aji für beliebiges j = 1 bis k unberücksichtigt (Formel aus letzter Spalte der Matrix 6). Wenn ein System viele Aktionen günstiger erfüllen kann, wird die Bilanz für dieses System negativ. Das System hat von der Teilung Nachteile. Also werden folgend die Tauschmengen durch die zusätzliche Bedingung ∑ i=1n - xji * aji >= 0 für beliebiges j = 1 bis k eingeschränkt. Jedes System hat dann von der Teilung zumindest keinen Nachteil in der Bilanz. Die maximal erzielbare Einsparung kann mit dieser zusätzlichen Bedingung nur im Idealfall erreicht werden.
Gesucht ist das Maxminum der Summe ∑ i=1n (∑ l=1k xli * ali) in Abhängigkeit der Werte xli mit den Randbedingungen
- ∑ l=1k xli = 0 für beliebige i von 1 bis n
- ∑ i=1n xli * ali >= 0 für beliebige l von 1 bis k
- - mli =< xli für beliebige i von 1 bis n und j von 12 bis k
Bei xli = 0 (Ausgangssituation - kein Tausch) sind die Randbedingungen erfüllt. Aber die Summe ∑ i=1n (∑ l=1k xli * ali) = 0.
Bedarfsmengen = Aktivität ohne Tausch
Matrix 7 |
Bedarf Aktion1 |
Bedarf Aktion2 |
... |
Bedarf Aktionn |
System1 |
m11 |
m12 |
... |
m1n |
System2 |
m21 |
m22 |
... |
m2n |
... |
... |
... |
... |
... |
Systemk |
mk1 |
mk2 |
... |
mkn |
Aufwand pro Aktion und System
Matrix 8 |
Aufwand Aktion1 |
Aufwand Aktion2 |
... |
Aufwand Aktionn |
System1 |
a11 |
a12 |
... |
a1n |
System2 |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
... |
... |
... |
... |
... |
Systemk |
ak1 |
ak2 |
... |
akn |
Aktivität nach dem Tausch
Matrix 9 |
Aktivität Aktion1 |
Aktivität Aktion2 |
... |
Aktivität Aktionn |
System1 |
m11 + x11 = y11 |
m12 + x12 = y12 |
... |
m1n - x1n = y1n |
System2 |
m21 + x21 = y21 |
m22 + x22 = y22 |
... |
m2n + x2n = y2n |
... |
... |
... |
... |
... |
Systemk |
mk1 + xk1 = yk1 |
mk2 + xk2 = yk2 |
... |
mkn + xkn = ykn |
(7)
Unter allen Systemen ist bei Aktioni ein Systemj auswählbar mit aji =< ali für beliebiges l = 1 bis m. Dieses Systemj kann also die Aktioni mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das Systemj übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktioni.
Also gilt für diese Aktion
(7) Unter allen Systemen ist bei Aktioni ein Systemj auswählbar mit aji =< ali für beliebiges l = 1 bis m. Dieses Systemj kann also die Aktioni mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das Systemj übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktioni.
(8) AGesamtdifferenz bei Aktioni = AAktioni ohne Tausch - AAktioni mit Tausch = ∑ l=1k mli * ali - (∑ l=1k mli) * aji = ∑ l=1k mli * (ali - aji)
Vergleiche nach dem Tausch
Matrix 10 |
Aufwand Aktion1 |
Aufwand Aktion2 |
... |
Aufwand Aktionn |
Aufwand pro Systemn |
System1 |
(m11 + x11) * a11 |
(m12 + x12) * a12 |
... |
(m1n - x1n) * a1n |
∑ i=1n (m1i - x1i) * a1i |
System2 |
(m21 + x21) * a21 |
(m22 + x22) * a22 |
... |
(m2n + x2n) * a2n |
∑ i=1n (m2i - x2i) * a2i |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
Systemk |
mk1 + xk1 = yk1 |
mk2 + xk2 = yk2 |
... |
mkn + xkn = ykn |
∑ i=1n (mki - xki) * aki |
Summe Aktivität/Gesamtaufwand |
∑ j=1k mj1 + xj1 |
∑ j=1k mj2 + xj2 |
... |
∑ j=1kmjn + xjn |
∑ i=1n ∑ j=1k(mji + xji) * aji |