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2. Berechnung bei m Teilsystemen und n Funktionen


Das Gesamtsystem bestehe aus m Teilsystemen und n verschiedenen Funktionen. Der Gesamtaufwand berechnet sich ASystem = ∑ i=1m (∑ j=1n bij * aij).
aij ist der Aufwand pro Mengeneinheit, welches das Systemi zur Erfüllung der Funktionj benötigt, bij ist der Bedarf des Systemsi an der Funktionj.
Aij ist der Aufwand des Systemi an der Funktionj, es gilt also Aij = bij * aij

Dies als Tabelle:
System/Funktion Funktion1 Funktion2 ... Funktionn Gesamtaufwand pro Teilsystemi
Teilsystem1 b11 * a11 b12 * a12 ... b1n * a1n AS1 = ∑j=1n b1j * a1j
Teilsystem2 b21 * 21 b22 * a22 ... b2n * a2n AS2 = ∑ j=1n b2j * a2j
... ... ... ... ... ...
Teilsystemm bm1 * am1 bm2 * am2 ... bmn * amn ASm = ∑ j=1n bmj * amj
Gesamtbedarf pro Funktionj AF1 = ∑ i=1m bi1 * ai1 AF2 = ∑ i=1m bi2 * ai2 ... AFn = ∑ i=1m bin * ain A = ∑ i=1m (∑ j=1n bij * aij)
Alle Aufwendungen aij sind für beliebiges i und j positiv, ansonsten wäre die jeweilige Aktion ein Perpetuum mobile. (57)
Die Mengen bij sind der Bedarf an der jeweiligen Funktion aij. Die untere Grenze ist Null (kein Eigenbedarf an dieser Funktion). (58)
Tausch/Funktionsteilung bedeutet, das ein Teilsystem anteilig Mengen xij für das andere System übernimmt. Die obige Tabelle ist zu erweitern um die Tauschmengen xij. (59)
System/Funktion Funktion1 Funktion2 ... Funktionn Gesamtaufwand pro Teilsystemi
Teilsystem1 (b11 + x11) * a11 (b12 + x12) * a12 ... (b1n + x1n ) * a1n AST1 = ∑j=1n (b1j + x1j) * a1j
Teilsystem2 (b21 + x21)* 21 (b22 + x22) * a22 ... (b2n + x2n) * a2n AST2 = ∑ j=1n (b2j + x2j)* a2j
... ... ... ... ... ...
Teilsystemm (bm1 + xm1) * am1 (bm2 + xm2) * am2 ... (bmn + xmn)* amn ASTm = ∑ j=1n (bmj + xmj) * amj
Gesamtbedarf pro Funktionj AFT1 = ∑ i=1m (bi1 + xi1) * ai1 AFT2 = ∑ i=1m (bi2 + xi2) * ai2 ... AFTn = ∑ i=1m (bin + xin) * ain AT = ∑ i=1m (∑ j=1n (bij + xij) * aij))

Dies ergibt eine Aufwandsdifferenz: ADij = Aij - ATij = bij * aij - (bij + xij) * aij = - xij * aij (60)
System/Funktion Funktion1 Funktion2 ... Funktionn Gesamtdiffferenz pro Teilsystemi
Teilsystem1 - x11 * a11 - x12 * a12 ... - x1n * a1n ASD1 = ∑j=1n- x1j * a1j
Teilsystem2 - x21 * 21 - x22 * a22 ... - x2n * a2n ASD2 = ∑ j=1n - x2j * a2j
... ... ... ... ... ...
Teilsystemm - xm1 * am1 - xm2 * am2 ... - xmn * amn ASDm = ∑ j=1n -xmj * amj
Gesamtbedarf pro Funktionj AFD1 = ∑ i=1m -xi1 * ai1 AFD2 = ∑ i=1m -xi2 * ai2 ... AFDn = ∑ i=1m -xin * ain AD = ∑ i=1m (∑ j=1n -xij * aij)
Der Tausch verändert den Bedarf vorerst nicht. Also gilt ∑ j=1n xij = 0 für beliebiges i von 1 bis m. (61)
Umgestellt ergibt sich: ∑ k=1j-1 xik + xij + ∑k=j+1n xik = 0 bzw. - xij = ∑ k=1j-1 xik + ∑k=j+1n xik für beliebiges i = 1 bis m. (62)
Nach oben kann ein System maximal den Gesamtbedarf aller Systeme an der Funktionj übernehmen. xij = < ∑ k=1n bik für beliebiges i= bis m und j = 1 bis n (63)

Weiter --------------z.Z. in Überarbeitung -----------------------

Ein Tausch mit der Menge x bei Funktionj und vom Systemi zum Systemk ergibt
ADij = Aij - ATij = x * aij und ADkj = Akj - ATkj = - x * akj Auswirkung auf das Gesamtsystem ADij + ADkj = x * (aij - aik)





.

Also ist bei diesem Tausch eine maximale Einsparung erreichbar

(7) Unter allen Systemen ist bei Aktioni ein Systemj auswählbar mit aji =< ali für beliebiges l = 1 bis m. Dieses Systemj kann also die Aktioni mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das Systemj übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktioni.

(8) AGesamtdifferenz bei Aktioni = AAktioni ohne Tausch - AAktioni mit Tausch = ∑ l=1k mli * ali - (∑ l=1k mli) * aji = ∑ l=1k mli * (ali - aji)

Dies ist die maximal erzielbare Einsparung.

Hinweis: Bei dieser Aufstellung wird auch bei identischen Aufwand getauscht, obwohl dies keine Einsparung bringt (Fall 3). Diese Fälle sind also abziehbar. An der Einsparungssumme ändert dies nichts. Nur die Formel wird aufwendiger (Summe über Systeme mit ali < aji).

Summiert über alle Systeme gilt dann:
(9) Amaximale Einsparung Gesamt = ∑ i=1n (∑ l=1k mli * (ali - ajii)), dabei ist ji jeweils die Aktionj pro Systemi, welche den geringsten Aufwand hat.

4. Ausgleich

Bei der maximalen Einsparung bleibt die Bilanz für die Systeme ∑ i=1n - xji * aji für beliebiges j = 1 bis k unberücksichtigt (Formel aus letzter Spalte der Matrix 6). Wenn ein System viele Aktionen günstiger erfüllen kann, wird die Bilanz für dieses System negativ. Das System hat von der Teilung Nachteile. Also werden folgend die Tauschmengen durch die zusätzliche Bedingung ∑ i=1n - xji * aji >= 0 für beliebiges j = 1 bis k eingeschränkt. Jedes System hat dann von der Teilung zumindest keinen Nachteil in der Bilanz. Die maximal erzielbare Einsparung kann mit dieser zusätzlichen Bedingung nur im Idealfall erreicht werden.

Gesucht ist das Maxminum der Summe ∑ i=1n (∑ l=1k xli * ali) in Abhängigkeit der Werte xli mit den Randbedingungen

Bei xli = 0 (Ausgangssituation - kein Tausch) sind die Randbedingungen erfüllt. Aber die Summe ∑ i=1n (∑ l=1k xli * ali) = 0.

Bedarfsmengen = Aktivität ohne Tausch

Matrix 7 Bedarf Aktion1 Bedarf Aktion2 ... Bedarf Aktionn
System1 m11 m12 ... m1n
System2 m21 m22 ... m2n
... ... ... ... ...
Systemk mk1 mk2 ... mkn

Aufwand pro Aktion und System

Matrix 8 Aufwand Aktion1 Aufwand Aktion2 ... Aufwand Aktionn
System1 a11 a12 ... a1n
System2 a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ...
Systemk ak1 ak2 ... akn

Aktivität nach dem Tausch

Matrix 9 Aktivität Aktion1 Aktivität Aktion2 ... Aktivität Aktionn
System1 m11 + x11 = y11 m12 + x12 = y12 ... m1n - x1n = y1n
System2 m21 + x21 = y21 m22 + x22 = y22 ... m2n + x2n = y2n
... ... ... ... ...
Systemk mk1 + xk1 = yk1 mk2 + xk2 = yk2 ... mkn + xkn = ykn

(7)
Unter allen Systemen ist bei Aktioni ein Systemj auswählbar mit aji =< ali für beliebiges l = 1 bis m. Dieses Systemj kann also die Aktioni mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das Systemj übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktioni. Also gilt für diese Aktion

(7) Unter allen Systemen ist bei Aktioni ein Systemj auswählbar mit aji =< ali für beliebiges l = 1 bis m. Dieses Systemj kann also die Aktioni mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das Systemj übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktioni.

(8) AGesamtdifferenz bei Aktioni = AAktioni ohne Tausch - AAktioni mit Tausch = ∑ l=1k mli * ali - (∑ l=1k mli) * aji = ∑ l=1k mli * (ali - aji)

Vergleiche nach dem Tausch

Matrix 10 Aufwand Aktion1 Aufwand Aktion2 ... Aufwand Aktionn Aufwand pro Systemn
System1 (m11 + x11) * a11 (m12 + x12) * a12 ... (m1n - x1n) * a1n i=1n (m1i - x1i) * a1i
System2 (m21 + x21) * a21 (m22 + x22) * a22 ... (m2n + x2n) * a2n i=1n (m2i - x2i) * a2i
... ... ... ... ... ...
Systemk mk1 + xk1 = yk1 mk2 + xk2 = yk2 ... mkn + xkn = ykn i=1n (mki - xki) * aki
Summe Aktivität/Gesamtaufwand j=1k mj1 + xj1 j=1k mj2 + xj2 ... j=1kmjn + xjn i=1nj=1k(mji + xji) * aji