1. Ansatz

Bei nur zwei Aktionen und zwei Systemen vereinfachen sich die Gleichungen.

(20) A_System1 = m₁₁ * a₁₁ + m₁₂ * a₁₂   und   (21) A_System2= m₂₁ * a₂₁ + m₁₂ * a₂₂

Alle Aufwendungen pro Mengeneinheit a₁₁, a₁₂, a₂₁ und a₂₂ sind positiv.

mit Tausch gilt ( x₁ und x₂ sind die Tauschmengen):

(22) A_System1 = (m₁₁ + x₁) * a₁₁ + (m₁₂ + x₂) * a₁₂   und   (23) A_System2 = (m₂₁ - x₁) * a₂₁ + (m₂₂ - x₂) * a₂₂

Die Tauschmengen sind begrenzt durch den Bedarf, also

(24) - m₁₁ =< x₁ =< m₂₁  und   (25) - m₁₂ =< x₂ =< m₂₂

Die Differenzen ergeben sich aus (20), (21), (22) und (23) zu

(26) A_{Differenz System1} = A_{System1 ohne Tausch} - A_{System1 mit Tausch} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂

(28) A_{Differenz Gesamt} = A_{Einsparung Gesamt} = A_{Differenz System1} + A_{Differenz System2} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ + x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ = x₁ * (a₂₁ - a₁₁) + x₂ * (a₂₂ - a₁₂)

2. Begrenzung der Tauschmengen

Bei linearen Gleichungen werden die Extremwerte an den Grenzen der Argumente erreicht. Also sind die Extremwerte an den Grenzen von x_i zu finden. Bei x₁ = 0 oder x₂ = 0 findet kein Tausch oder ein instabiler, weil einseitiger Tausch statt. Daher ergeben die anderen Grenzen das Maximum.

aus (26) A_{Differenz System1} >= 0  folgt umgestellt   (29) x₁ =< - x₂ * a₁₂/a₁₁   und  (30) x₂ =< - x₁ * a₁₁ / a₁₂

aus (27) A_{Differenz System2} >= 0  folgt umgestellt   (31) x₁ >= - x₂ * a₂₂/a₂₁   und  (32) x₂ >= - x₁ * a₂₁ / a₂₂

(29) und (31) ergeben

(33) - x₂ * a₂₂ / a₂₁  =<   x₁   =<  - x₂ * a₁₂ / a₁₁

die zwei äußeren Werte ergeben

- x₂ * a₂₂ / a₂₁  =<  - x₂ * a₁₂/a₁₁  umgestellt    (34) x₂   >=   x₂ * (a₂₁ * a₁₂) / (a₁₁ * a₂₂)

Mit dieser Gleichung (34) und dem Verhältnis a₂₁ * a₁₂ / a₁₁ * a₂₂ und den Tauschmengen aus (24) und (25) lassen sich die folgenden drei Fälle unterscheiden.

Das Verhältnis a₂₁ * a₁₂ / a₁₁ * a₂₂ bestimmt also, wie getauscht wird. Dies ist einfach zu verstehen. Eine Aktion wird zu dem System verlagert, welches die Aktion mit weniger Aufwand realisieren kann.
Beim Fall 3 ergeben sich zu A_{Differenz System1} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ = - x₂ * a₁₂/a₁₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ = 0 und A_{Differenz System2} = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ = - x₂ * a₁₂ * a₂₁ /a₁₁ * + x₂ * a₂₂ = - x₂ * a₁₁ * a₂₂ /a₁₁ + x₂ * a₂₂ = 0 d.h. bei diesem Verhältnis ergibt der Tausch keine Einsparung!

Die Tauschmengen sind zusätzlich durch die Bedingungen (29), (30), (31) und (32) begrenzt.

• aus (29) folgt x₁ =< - x₂ * a₁₂/a₁₁ =< m₁₂ * a₁₂/a₁₁
  x₁ kann also die Obergrenze m₂₁ nur annehmen, wenn m₂₁ =< m₁₂ * a₁₂ / a₁₁ ist.
  • 1.1 bei m₂₁ =< m₁₂ * a₁₂/a₁₁ ergibt sich x₁ = m₂₁
  • 1.2 bei m₂₁ >= m₁₂ * a₁₂/a₁₁ ergibt sich x₁ = m₁₂ * a₁₂/a₁₁
• aus (32) folgt x₂ >= - x₁ * a₂₁ / a₂₂ >= - m₂₁ * a₁₁ / a₁₂
  x₂ kann also die Untergrenze - m₁₂ nur annehmen, wenn - m₁₂ >= - m₂₁ * a₂₁ / a₂₂ ist.
  • 1.3 bei - m₁₂ >= - m₂₁ * a₂₁ / a₂₂ ergibt sich x₂ = - m₁₂
  • 1.4 bei - m₁₂ =< - m₂₁ * a₂₁ / a₂₂ ergibt sich x₂ = - m₂₁ * a₂₁/a₂₂

  Beim Fall 1.2 gilt: m₂₁ > m₁₂ * a₁₂/a₁₁ > m₁₂ * a₂₂/a₂₁ wegen a₁₂ / a₁₁ > a₂₂ / a₂₁  Dies ist die Bedingung des Falls 1.3 Wenn aus der Bedingung des Falls 1.2 der Fall 1.3 folgt, so gilt x₁ = m₁₂ * a₁₂/a₁₁ und x₂ = - m₁₂

  Beim Fall 1.4 gilt: - m₁₂ =< - m₂₁ * a₂₁ / a₂₂ > - m₂₁ * a₁₁/a₁₂ wegen a₂₁ / a₂₂ > a₁₁ / a₁₂  Dies ist umgestellt ( m₁₂ > m₂₁ * a₁₁/a₁₂) die Bedingung des Falls 1.1. Wenn aus der Bedingung des Falls 1.4 der Fall 1.1 folgt, so gilt x₁ = m₂₁ und x₂ = - m₂₁ * a₂₁/a₂₂

  Die vier Fälle 1.1 bis 1.4. lassen sich auf zwei reduzieren.

  • bei m₂₁ > m₁₂ * a₁₂ / a₁₁ ergibt sich x₁ = m₁₂ * a₁₂ / a₁₁ und x₂ = - m₁₂
  • bei m₂₁ =< m₁₂ * a₁₂ / a₁₁ ergibt sich x₁ = m₂₁ und x₂ = - m₂₁ * a₂₁ / a₂₂

  Dies ist wiederum einfach zu verstehen. Ein System kann nur soviel nehmen, wie es auch umgekehrt geben kann. Das Geben ist durch den Bedarf des Empfängers beschränkt. Wenn der Bedarf gering ist (also wenig "verkauft" werden kann), so kann nur eine Teilmenge bezogen ("eingekauft") werden.

  Die Einsparungen (und dies ist sogleich eine Kontrollrechung) errechnen sich aus den Gleichungen (26), (27) und (28)

  • bei m₂₁ > m₁₂ * a₁₂/a₁₁
    A_{Differenz System1} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ = - m₁₂ * a₁₂* a₁₁ / a₁₁ + m₁₂ * a₁₂ = - m₁₂ * a₁₂ + m₁₂ * a₁₂ = 0
    A_{Differenz System2} = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ = m₁₂ * a₁₂ * a₂₁ / a₁₁ - m₁₂ * a₂₂ = m₁₂ * ( a₁₂ * a₂₁ / a₁₁) - a₂₂) > m₁₂ wegen (a₂₁ * a₁₂) > (a₁₁ * a₂₂)
  • bei m₂₁ =< m₁₂ * a₁₂/a₁₁
    A_{Differenz System1} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ = - m₂₁ * a₁₁ + m₂₁ * a₂₁ * a₁₂ / a₂₂ = m₂₁ * (a₂₁ * a₁₂ / a₂₂ - a₁₁)> m₂₁ >= 0
    A_{Differenz System2} = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ = m₂₁ * a₂₁ - m₂₁ * a₂₁ * a₂₂ /a₂₂ = m₂₁ * 0 = 0

• aus (31) folgt x₁ >= - x₂ * a₂₂/a₂₁ >= - m₂₂ * a₂₂/a₂₁
  x₁ kann deshalb die untere Grenze - m₁₁ nur annehmen, wenn - m₁₁ >= - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁ ist.
  • 2.1 bei - m₁₁ >= - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁ ist x₁ = - m₁₁
  • 2.2 bei - m₁₁ =< - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁ ist x₁ = - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁
• aus (30) folgt x₂ =< - x₁ * a₁₁ / a₁₂ =< m₁₁ * a₁₁ / a₁₂
  x₂ kann also die Obergrenze m₂₂ nur annehmen, wenn m₂₂ =< m₁₁ * a₁₁/a₁₂ ist.
• 2.3 bei m₂₂ =< m₁₁ * a₁₁ / a₁₂ ergibt sich x₂ = m₂₂
• 2.4 bei m₂₂ > m₁₁ * a₁₁ / a₁₂ ergibt sich x₂ = m₁₁ * a₁₁ / a₁₂

Beim Fall 2.1 gilt: - m₁₁ >= - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁ > - m₂₂ * a₁₂/a₁₁ wegen a₂₂ / a₂₁ > a₁₂ / a₁₁  Dies ist die Bedingung des Falls 2.4 Wenn aus der Bedingung des Falls 2.1 der Fall 2.4 folgt, so gilt x₁ = - m₁₁ und x₂ = ₁₁ * a₁₁ / a₁₂

Beim Fall 2.2 gilt: - m₁₁ =< - m₂₂ * a₂₂ / a₁₂ > - m₂₂ * a₂₁/a₁₁ wegen a₂₂ / a₁₂ > a₂₁ / a₁₁. Wenn aus der Bedingung des Falls 2.2 der Fall 2.3 folgt, so gilt x₁ = - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁und x₂ = x₂ = m₂₂

Die vier Fälle 2.1 bis 2.4 lassen sich auf zwei reduzieren.

• bei - m₁₁ >= - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁ ergibt sich x₁ = - m₁₁ und x₂ = ₁₁ * a₁₁ / a₁₂
• bei - m₁₁ =< - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁ ergibt sich x₁ = - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁und x₂ = x₂ = m₂₂

Die Einsparungen (und dies ist sogleich eine Kontrollrechung) errechnen sich aus den Gleichungen (26), (27) und (28)

• bei - m₁₁ >= - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁
  A_{Differenz System1} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ = m₂₂ * a₁₁ * a₂₂ / a₂₁ - m₂₂ a₁₂ = m₂₂ * (a₁₁ - a₂₂ / a₂₁)
  A_{Differenz System2} = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ = - m₂₂ * a₂₁ * a₂₂ / a₂₁ + m₂₂ * a₂₂ = m₂₂ * 0 = 0
  
• bei - m₁₁ =< - m₂₂ * a₂₂ / a₂₁
  A_{Differenz System1} = - x₁ * a₁₁ - x₂ * a₁₂ = m₁₁ * a₁₁ - m₁₁ * a₁₁ * a₁₂ / a₁₂ = m₁₁ * (a₁₁ - a₁₁ * a₁₂ / a₁₂) = 0
  A_{Differenz System2} = x₁ * a₂₁ + x₂ * a₂₂ = -m₁₁ * a₂₁ + m₁₁ * a₁₁ * a₂₂ / a₁₂ = m₁₁ * (a₁₁ * a₂₂ / a₁₂ - a₂₁)

x₁ wird begrenzt laut (24) - m₁₁ =< x₁ =< m₂₁ und x₂ wird begrenzt laut (25) - m₁₂ =< x₂ =< m₂₂.
Dies ergibt an den Grenzen der Tauschmengen folgende Varianten:

• x₁ = 0 daraus folgt x₂ = 0, d.h. kein Tausch
• x1 = m₂₁ daraus folgt x₂ = - m₂₁ * a₁₁/a₁₂, d.h. das System₁ übernimmt die Aktion₁ und das System₂ die Teile der Aktion₂
• x1 = m₁₁ daraus folgt x₂ = - m₁₁ * a₁₁ / a₁₂, d.h. das System₁ übernimmt die Aktion₂ und das System₂ Teile der Aktion₁
• x₂ = m₂₂ daraus folgt x₁ = m₂₂ * a₁₂ / a₁₁, d.h. das System₁ übernimmt Teile der Aktion₂ und das System₂ die Aktion₁
• x2 = - m₂₁ daraus folgt x₁ = - m₂₁ * a₁₂ / a₁₁, d.h. das System₁ übernimmt Teile der Aktion₁ und das System₂ die Aktion₂

Bei diesem Verhältnis a₂₁ * a₁₂ = a₁₁ * a₂₂ ergeben sich keine Einsparungen. Dies lässt sich mit den Formeln (26), (27) und (28) nachrechnen ( A_Differenz1 = A_Differenz2 = A_{Differenz Gesamt} = 0)

3. Übersicht zu den Tauschmengen

Ausgangssituation ohne Tausch

Aufwände pro Aktion und System

Aktivität nach dem Tausch und Einsparung, nach Fall unterschieden

(35) Die aufwendige Rechnung der vier Fälle wäre auch einfacher möglich. Einfach als System₁ das System mit a₁₁ / a₁₂ < a₂₁ / a₂₂ definieren und analog die Aktion 1 mit m₂₁ / m₁₂ > a₁₂ / a₁₁. Dann gibt es nur die Fälle 1 und 5. Um trotzdem die Fälle 2,3 und 4 zu beschreiben, einfach per Definition die Bezeichnungen tauschen.

4. Fazit

Bei den Vorgaben

• maximale Aufwandseinsparung für das Gesamtsystem und
• beide Teilsysteme haben zumindest keinen Nachteil

5. Optimale Systeme

Daraus lassen die optimalen Bedarfsmengen errechnen. Die rechte Spalte zeigt den Verlust an Einsparung, wenn die Bedarfsmengen vom Optimum abweichen.