1. Einleitung - ein Beispiel

Bauer₁ hat fruchtbare Felder. Bauer₂ dagegen große Weideflächen. Verständlich, das Bauer₁ z.B. Kohl günstiger anbauen kann und Bauer₂ z.B. für Ziegen weniger Zeit benötigt. So braucht Bauer₁ 10 Stunden pro 100 Kohl, Bauer₂ dagegen 16 Stunden. Umgekehrt hat Bauer₂ für eine Ziege eine Zeitaufwand von 80 Stunden, Bauer₁ braucht 90 Stunden. Im Beispiel haben beide einen Bedarf von 1500 Kohl (= 15 Mengeneinheiten = 15 ME) und 8 Ziegen (8 ME). Dies wird in Tabellenform übersichtlicher.

Nun tauschen die beiden. Bauer₁ produziert 26 ME Kohl (also 11 ME mehr,Tauschmenge Kohl x₁ = 11) und nur noch 6 Ziegen (also 2 weniger, Tauschmenge Ziegen x₂ = -2 ). Bauer₂ dagegen nur noch 4 ME Kohl (also 11 ME weniger) und jetzt 10 Ziegen (also 2 mehr).

Beide Bauern haben durch den Tausch eine Zeiteinsparung ohne produktive Tätigkeit. Im obigen Beispiel hat Bauer₁ eine Einsparung von 70 Stunden, Bauer₂ spart 16 Stunden. Durch die Unterschiede im Aufwand lohnt der Tausch. Nicht berücksichigt ist der Aufwand beim Tausch (Transport, Verpackung, Koordinierung, Abgaben). Was ist maximal an Einsparung möglich? Dies wird folgend allgemeingültig analysiert.

2. Ansatz

Wenn zur Erhaltung des geordneten Systems mehrere Aktionen i=1 bis n nötig sind, so ergibt sich der Gesamtaufwand A aus der Summe der einzelnen Aktionen. A_System = ∑_i=1ⁿ m_i*a_i. Der Aufwand pro Aktion ergibt sich aus der Menge (= m_i) * Aufwand pro Mengeneinheit (= a_i).

Bei mehreren Systemen ist zu differenzieren: A_System1 = ∑_i=1ⁿ m_1i*a_1i und analog für das System2: A_System2 = ∑ _i=1ⁿ m_2i*a_2i usw. Dies lässt sich allgemeingültig in einer Matrix darstellen:

Die Matrix besteht aus n Aktionen und k Systemen. Der Gesamtaufwand ergibt sich aus der Summe der Aufwände der einzelnen Systeme, also ∑ _j=1^k (∑ _i=1ⁿ m_ji * a_ji)

(2) Alle Aufwendungen a_ij sind für beliebiges i und j positiv, ansonsten wäre die jeweilige Aktion ein perpetuum mobile.

Die Mengen m_ji sind der Bedarf an der jeweiligen Aktion_ji. (3) Die untere Grenze ist Null (kein Eigenbedarf an dieser Aktion).

Tausch bedeutet, das ein System anteilig Mengen x für das andere System übernimmt. Die Summen sind zu erweitern um die Tauschmengen x_ji.

Der Tausch verändert den Bedarf an sich nicht. Also gilt ∑ _j=1^k x_ji = 0 für beliebiges i von 1 bis n. Dies und der Bedarf begrenzt die Tauschmengen. Nach unten ist die Tauschmenge begrenzt durch den Eigenbedarf m_ji. Nach oben kann ein System maximal den Gesamtbedarf aller Systeme ∑ _j=1^k m_ji übernehmen (ansonsten wäre ∑ _j=1^k x_ji > 0). Also gilt für beliebiges j von 1 bis k und i von 1 bis n:

(4) - m_ji =< x_ji = < ∑ _l=1^j-1 m_li + ∑ _l=j+1^k m_li

Dieses mathematische Modell ist anwendbar bei Arbeitsteilung und Handel. Durch den Tausch ergibt sich ein Mehrwert ohne produktive Tätigkeit. Der Begriff System ist absichtlich unspezifiziert gewählt, lässt sich konkretisieren bei Produktionseinheiten, Handelspartner, Person, Firmen, Vielzellern u.a.

3. Berechnung

Bei der Reduktion auf 2 Systeme (k=2) und 2 Aktionen (n=2) werden die Gleichungen übersichtlicher (Zweiteilung). Die reduzierten Gleichungen vereinfachen das Verständnis.

Beim obigen Beispiel (Kohl und Ziegen, Matrix 1) ergibt die Zweiteilung folgende Tauschmengen (Fall 2 in der Übersicht, Punkt3 der Zweiteilung):
Bauer₁ produziert für Bauer₂ zusätzlich Kohl in der Menge m₂₁ = 15 Bauer₂ gibt dafür den Bauern₁ Ziegen in der Menge = m₂₁ * a₂₁ / a₂₂ = 15 * 16 / 80 = 3.

Matrix 5	Aktion1 (Kohl) Bedarf * Aufwand	Aktion2 (Ziegen) Bedarf * Aufwand	Gesamtaufwand pro Bauer mit Tausch
Bauer1	(m11 + x1) * a11 = (15 + 15) * 10 = 300	(m12 + x2) * a12 = (8 - 3) * 90 = 450	(m11 + x1) * a11 + (m12 + x2) * a12 300 + 450 = 750
Bauer2	m21 * a21 = (15 - 15) * 15 = 0	m22 * a22 = (8 + 3) * 80 = 880	m21 * a21+ m22 * a12 0 + 880 = 880

Der Bauer₂ hat bei diesen Tauschmengen keinen Nutzen. Dies liegt nicht an den konkreten Beispielzahlen. Es ist immer so, wenn der Aufwand über beide minimisiert wird. Jede andere Tauschmenge bringt in der Summe weniger. Bei Matrix 2 ergab sich ein Aufwand von 800 + 864 = 1664. Bei Matrix 5 ergibt die Summe 750 + 880 = 1630. Mehr Einsparung ist nicht möglich! Bei maximaler Einsparung über beide Systeme hat ein System davon nichts, das andere alles. Dies ist ein enorm wichtiges Resultat! Trotz Optimum bleibt der Zustand instabil.

Folgend aber allgemein weiter (beliebige Anzahl an Aktionen = k und Systemen = n). Der Tausch ergibt pro Aktion_j und System_i eine Aufwandsdifferenz

(5) A_Differenzji = A_Gesamtji - A_{Gesamtji mit Tausch} = m_ji * a_ji - (m_ji + x_ji) * a_ji = - x_ji * a_ji

Ein Tausch mit der Menge x bei Aktion_i zwischen dem System_j und dem System_l ergibt
(6) Aufwand_{Gesamtdifferenz} = Aufwand_{ohne Tausch} - Aufwand_{mit Tausch} = m_ji * a_ji + m_li * a_li - (m_ji + x) * a_ji - (m_li - x) * a_li = x * (a_ji - a_li).

Also ist bei diesem Tausch eine maximale Einsparung erreichbar

• Fall 1: bei a_ji > a_li, x = m_li, Aufwand_Differenz = m_li * (a_ji - a_li)
• Fall 2: bei a_ji < a_li, x = - m_ji, Aufwand_Differenz = m_ji * (a_li - a_ji)
• Fall 3: bei a_ji = a_li, keine Einsparung, da Differenz (a_ji - a_li) = 0

(7) Unter allen Systemen ist bei Aktion_i ein System_j auswählbar mit a_ji =< a_li für beliebiges l = 1 bis m. Dieses System_j kann also die Aktion_i mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das System_j übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktion_i.

(8) A_{Gesamtdifferenz bei Aktioni} = A_{Aktioni ohne Tausch} - A_{Aktioni mit Tausch} = ∑ _l=1^k m_li * a_li - (∑ _l=1^k m_li) * a_ji = ∑ _l=1^k m_li * (a_li - a_ji)

Dies ist die maximal erzielbare Einsparung.

Hinweis: Bei dieser Aufstellung wird auch bei identischen Aufwand getauscht, obwohl dies keine Einsparung bringt (Fall 3). Diese Fälle sind also abziehbar. An der Einsparungssumme ändert dies nichts. Nur die Formel wird aufwendiger (Summe über Systeme mit a_li < a_ji).

Summiert über alle Systeme gilt dann:
(9) A_{maximale Einsparung Gesamt} = ∑ _i=1ⁿ (∑ _l=1^k m_li * (a_li - a_jii)), dabei ist j_i jeweils die Aktion_j pro System_i, welche den geringsten Aufwand hat.

4. Ausgleich

Bei der maximalen Einsparung bleibt die Bilanz für die Systeme ∑ _i=1ⁿ - x_ji * a_ji für beliebiges j = 1 bis k unberücksichtigt (Formel aus letzter Spalte der Matrix 6). Wenn ein System viele Aktionen günstiger erfüllen kann, wird die Bilanz für dieses System negativ. Das System hat von der Teilung Nachteile. Also werden folgend die Tauschmengen durch die zusätzliche Bedingung ∑ _i=1ⁿ - x_ji * a_ji >= 0 für beliebiges j = 1 bis k eingeschränkt. Jedes System hat dann von der Teilung zumindest keinen Nachteil in der Bilanz. Die maximal erzielbare Einsparung kann mit dieser zusätzlichen Bedingung nur im Idealfall erreicht werden.

Gesucht ist das Maxminum der Summe ∑ _i=1ⁿ (∑ _l=1^k x_li * a_li) in Abhängigkeit der Werte x_li mit den Randbedingungen

• ∑ _l=1^k x_li = 0 für beliebige i von 1 bis n
• ∑ _i=1ⁿ x_li * a_li >= 0 für beliebige l von 1 bis k
• - m_li =< x_li für beliebige i von 1 bis n und j von 12 bis k

Bei x_li = 0 (Ausgangssituation - kein Tausch) sind die Randbedingungen erfüllt. Aber die Summe ∑ _i=1ⁿ (∑ _l=1^k x_li * a_li) = 0.

Bedarfsmengen = Aktivität ohne Tausch

Aufwand pro Aktion und System

Aktivität nach dem Tausch

(7)
Unter allen Systemen ist bei Aktion_i ein System_j auswählbar mit a_ji =< a_li für beliebiges l = 1 bis m. Dieses System_j kann also die Aktion_i mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das System_j übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktion_i. Also gilt für diese Aktion

(7) Unter allen Systemen ist bei Aktion_i ein System_j auswählbar mit a_ji =< a_li für beliebiges l = 1 bis m. Dieses System_j kann also die Aktion_i mit weniger (oder gleich viel) Aufwand als die anderen Systeme erfüllen. Beim Tausch gilt dann Fall 2 oder Fall 3, das System_j übernimmt den Bedarf aller anderen Systeme bei Aktion_i.

(8) A_{Gesamtdifferenz bei Aktioni} = A_{Aktioni ohne Tausch} - A_{Aktioni mit Tausch} = ∑ _l=1^k m_li * a_li - (∑ _l=1^k m_li) * a_ji = ∑ _l=1^k m_li * (a_li - a_ji)

Vergleiche nach dem Tausch

Die Aufwands-Tabelle bestimmt, wie getauscht wird. Der Bedarf bestimmt, wieviel getauscht wird.

***************** weiter in überarbeitung *****************

2. Einsparung struktureller Anteile

Wenn sich der Aufwand pro Aktion_i darstellen lässt in der Form

A_i = m_i * a_i+ b_i    (m_i = Menge an benötigter Funktion, b_i = konstanter Aufwand, um überhaupt die Aktion realisieren zu können, a_i = Aufwand pro Menge m_i).

dann folgt:

Bei mehreren (Teil)Aktionen (i= 1 ... n) ergibt sich:

A = ∑ _i=1ⁿ m_i * a_i + b_i

Diesen Aufwand hat jedes System für sich. Tausch bedeutet, das irgendeine Aktion (hier j) durch ein anderes System übernommen wird. Das entlastete System hat jetzt den Aufwand:

A = ∑ _i=1ⁿ m_i * a_i + b_i - (m_j * a_j* + b_j)     Die Aktion j wird komplett eingespart.

A_Einsparung = m_j * a_j* + b_j

Dagegen hat das belastete System einen Mehraufwand

A = ∑ _i=1^j-1 m_i * a_i* + b_i + ( 2 * m_k * a_k + b_k) + ∑ _i=j+1ⁿ (m_i * a_i + b_i)     Die Aktion j wird mit doppelter Menge benötigt.

A_Mehraufwand = m_j * a_j

In der Bilanz über beide Systeme ergibt dies eine Einsparung:

A_Bilanz = A_Einsparung - A_Mehraufwand = b_j   eingespart wird 1x der konstante Anteil an der Aktion j.

Tausch verringert somit den energetischen Aufwand um strukturellen Anteile.

Dazu ein Beispiel aus der Wirtschaft:

Die Herstellung eines gehobelten Brettes kostet 2 € an Material und 3 € an Arbeitszeit (a=5) und 100 € für die Maschinen (40 € Säge, 60 € Hobelmaschine). Also kosten 10 Bretter (x=10)

A= 5*10 + 100 = 150 €

Zwei benachbarte, gleich strukturierte Firmen haben jeweils diese Herstellungskosten, also jeweils 150 € *2= 300 €. Nach Tausch sägt die eine Firma und die andere hobelt. Der Aufwand errechnet sich nun:

A= 5*10*2 + 100 = 200 €    Es wird nur eine Säge und eine Hobelmaschine benötigt.

Also kosten jetzt 10 Bretter nur noch 100 €.